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La hipótesis de Riemann es una conjetura formulada por Bernhard Riemann (del que ya hablamos aquí) en 1859. Constituye uno de los Problemas del Milenio (de esos pendientes de resolver y que te dan un millón de dólares si logras encontrar la solución). De hecho, entre los matemáticos es casi unánime la idea de que se trata de uno de los problemas más difíciles de abordar (por no decir el que más). Aun así, vamos a intentar explicar en qué consiste la conjetura de Riemann en las siguientes líneas.

Tiene que ver con las soluciones de una determinada ecuación. Pero hagamos antes un poco de memoria de algunos conceptos básicos.

Todos sabemos resolver ecuaciones sencillas, como por ejemplo la siguiente ecuación de segundo grado:

x2-5x+6=0,

Tiene dos soluciones: x=2 y x=3 (se pueden comprobar sustituyendo en la ecuación y viendo que se cumple la igualdad). Los matemáticos prefieren decir que 2 y 3 son los ceros de la función f(x)=x2-5x+6. En otras palabras, si escribimos la ecuación anterior como

f(x)=0

podemos afirmar que al sustituir x por 2, es decir, calcular f(2), nos da 0. Y lo mismo para f(3). Así que resolver una ecuación es encontrar los ceros de una determinada función.

Pues bien, la hipótesis de Riemann se refiere a los ceros de una función concreta, o, equivalentemente, a las soluciones de la ecuación:

ζ(s)=0,

donde ζ(s) es la llamada función zeta de Riemann. Dicha función es bastante más complicada que la f(x) anterior y no vamos a definirla en detalle. Lo más significativo es que ζ(s) es una función donde en vez de números reales aparecen números complejos (por eso normalmente utilizamos la letra s —o a veces z— en lugar de x). ¿Números complejos? Seguimos con el repaso.

Los números reales son los que estamos acostumbrados a manejar y que se representan en la recta numérica:

 recta_real.jpg

Sin embargo, los números complejos tienen dos coordenadas (una se llama parte real y otra parte imaginaria) y por tanto no se pueden representar en una recta, sino que hay que hacerlo en un plano. Por ejemplo, en el siguiente plano se han representado cuatro números complejos: el de coordenadas (2,3), que también se escribe como 2+3i, el de coordenadas (-2,1), que también se escribe como -2+i, el número (-3,-3)=-3-3i y el número (1,-3)=1-3i.

  complex_plane.png

Volvamos a nuestra ecuación ζ(s)=0 (vale, a los ceros de la función zeta de Riemann, si os gusta más decirlo así ahora). Esta ecuación tiene infinitas soluciones. Definitivamente está claro que es más complicada que la sencilla ecuación del principio f(x)=0, que tenía sólo dos soluciones. Además no olvidemos que se tratan de soluciones complejas, es decir, de puntos del plano.

La pregunta clave es ¿y si representamos las soluciones en el plano? (¿dónde caen los ceros de la función zeta de Riemann?) La respuesta no es evidente, pues no se conocen todos los ceros de ζ(s). Aparte de los llamados ceros triviales: los enteros pares negativos, o sea, los números de coordenadas (-2,0), (-4,0), (-6, 0)... en el plano complejo, se sabe que el resto de los ceros (llamados ceros no triviales) han de estar necesariamente situados en la franja sombreada del gráfico de abajo, es decir, su parte entera debe estar entre 0 y 1.

Y por fin hemos llegado a poder formular la hipótesis de Riemann, que trata de afinar mucho más la franja sombreada para dar una zona más concreta de dónde están los ceros. La conjetura dice así:

"Los ceros no triviales de la función zeta de Riemann tienen todos parte real igual a 1/2"

Gráficamente eso quiere decir que los ceros estarían todos sobre la línea discontinua vertical dibujada arriba en el plano complejo. Si la hipótesis fuera falsa entonces existiría algún cero no trivial fuera de esa línea (aunque dentro de la franja sombreada, eso seguro), pero de momento todos los ceros que se han encontrado (incluso con ayuda de potentes ordenadores) siempre están sobre la línea crítica. Sin embargo, hace falta una demostración matemática rigurosa que nos asegure que siempre va a ser así y que nunca se encontrará un cero no trivial fuera de la línea crítica de números complejos con parte real igual a 1/2.

¿Y por qué es importante todo esto para los matemáticos? La función zeta de Riemann está fuertemente relacionada con los números primos (Euler fue el primero en darse cuenta de este hecho). El entender los ceros de la función zeta de Riemann conduciría a resultados fundamentales sobre cómo están distribuidos los números primos... y no olvidemos que los números primos son los ladrillos de las matemáticas, pues todos los números compuestos pueden expresarse como producto de primos. Así, Hilbert incluyo la hipótesis de Riemann como el octavo problema de su famosa lista de problemas sin resolver a principios del s. XX y afirmó que demostrar la conjetura de Riemann implicaría, en particular, demostrar la conjetura de los primos gemelos.

La criptografía actual se basa en las matemáticas de los números primos. Cada vez que hacemos una compra por Internet o enviamos un mensaje esta información se cifra para que terceras personas no puedan acceder a ella. Si tuviéramos un conocimiento completo de cómo se distribuyen los números primos, entonces, todo el sistema de claves de la World Wide Web se derrumbaría. Las técnicas que condujeran a la demostración de la hipótesis de Riemann no sólo constituirían un hito en la historia de las matemáticas, sino que podrían conllevar un cambio en la forma del cifrado de la información en un mundo cada vez más conectado. Pero por suerte, o por desgracia, parece que está más cerca el desarrollo pleno de la llamada criptografía cuántica (no basada en los números primos) que la demostración de la hipótesis de Riemann.

 

igualdad.png

 

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Referencias:

- K. Devlin. The Millenium Problems. Basic Books (2002)

- C. B. Boyer. Historia de la matemática, Alianza Editorial (1986)

- http://mathground.net/riemann-hypothesis/

- https://plus.maths.org/content/whirlpool-numbers/

- http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/encoding1.htm

- http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function/

- http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html/

  • Guest - Quarkbite

    ¿Como se relaciona cada cero de la funcion zeta con un numero primo?, es decir, si los primeros 5 ceros de esta funcion son:
    (0.5 + 14.1347251417346937904572519836j)
    (0.5 + 21.0220396387715549926284795939j)
    (0.5 + 25.0108575801456887632137909926j)
    (0.5 + 30.4248761258595132103118975306j)
    (0.5 + 32.9350615877391896906623689641j)
    ¿Como se relacionan con los 5 primeros numeros primos, 2-3-5-7-11?

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