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Los números perfectos son aquellos que se obtienen sumando sus divisores propios (o sea, sus divisores sin contar el propio número). Por ejemplo, el número 6 es perfecto porque los divisores propios del 6 son 1, 2 y 3, y sumando estos se obtiene precisamente el número 6. Los primeros tres números perfectos son 6, 28 y 496:

6 = 1 + 2 + 3

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

Pero... ¿por qué estos números se llaman perfectos?

El origen de los números perfectos se remonta a la Escuela Pitagórica, y ya aparecen algunos resultados importantes sobre los mismos en los Elementos de Euclides, probablemente recogidos de algún texto pitagórico anterior. Los antiguos griegos conocían los cuatro primeros números perfectos (el cuarto es 8128, encontrado por Nicómaco de Gerasa hacia el año 100). Pitágoras y los suyos se empeñaron en darle una explicación religiosa a esos números. Su belleza y armonía los hacían perfectos. San Agustín afirmó que Dios hizo el mundo en 6 días porque eligió un número perfecto. El siguiente de estos números, 28, coincide mágicamente con el ciclo lunar. Y así, a lo largo de la historia, siempre aparecía una explicación mística de los números perfectos.

Nicómaco propuso, sin demostrar, una seria de afirmaciones matemáticas. Algunas se han revelado falsas y otras están pendientes de demostrar (aunque parecen bastante plausibles). Estas son:

  • El número perfecto n-ésimo tiene n dígitos [FALSO]. Aunque los primeros números perfectos lo cumplen [el primero (6) tiene una cifra, el segundo (28) tiene dos cifras, el tercero (496) tiene tres cifras...] la afirmación es falsa para el quinto número perfecto (33550336).

     

  • Todos los números perfectos son pares [CONJETURA]. Hasta ahora se han encontrado medio centenar de números pares (los últimos tienen millones de dígitos) y todos ellos son pares. ¿Habrá alguno impar? No se sabe.

     

  • Todos los números perfectos acaban en 6 o en 8 alternativamente [FALSO, AL MENOS PARCIALMENTE]. Es cierto que todos los números perfectos pares acaban en 6 o en 8, aunque no ocurre alternativamente. Además, si hubiera números perfectos impares dejaría de ser cierto. La demostración para números pares se puede deducir del siguiente resultado.

     

  • Cualquier número perfecto es de la forma 2p1(2p  1), para p > 1, siendo 2p  1 un número primo. [CONJETURA]. La fórmula anterior ya es mencionada por Euclides. Para números perfectos pares, Euler demostró que la afirmación anterior sí es cierta, pero queda por demostrar que también es cierta para números perfectos impares (o bien demostrar que todos los números perfectos son pares, lo que sigue siendo una conjetura como ya se ha indicado). Por cierto, que un número primo de la forma 2p – 1 se llama primo de Mersenne y para que 2p – 1 sea primo es necesario que p también sea primo.

     

  • Hay infinitos números perfectos [CONJETURA]. Otra conjetura que nos recuerda a la conjetura de los primos gemelos, que a su vez tiene mucho que ver con la hipótesis de Riemann.

Y podríamos seguir llenando páginas y páginas con propiedades de los números perfectos. Así que se podrá discutir todo lo que se quiera sobre si estos números son divinamente perfectos o no, pero de lo que no cabe duda es de que son endiabladamente complicados.

 

REFERENCIAS:

http://mathworld.wolfram.com/PerfectNumber.html

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Perfect_numbers.html

http://mathforum.org/library/drmath/view/51516.html

C. B. Boyer. Historia de la matemática, Alianza Editorial (1986)

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