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Una función puede verse como una especie de máquina en la que entran valores (que solemos denotar por x) y, tras una serie de operaciones, salen otros valores [que llamamos y o f(x)]. A cada entrada x le corresponde una salida y concreta de acuerdo a la función. A los matemáticos franceses Pierre Fatou y Gaston Julia (s. XX) se les ocurrió estudiar la siguiente cuestión aplicada a cierto tipo de funciones: ¿y si el valor de salida lo vuelvo a meter en la función como nueva entrada y repetimos esto así cíclicamente? El resultado es sorprendentemente bello: se obtienen imágenes como la anterior, que los matemáticos llaman fractales.

 

Empecemos con una función sencilla: f(x)=x², es decir, se trata de una "máquina" que eleva al cuadrado el valor de la entrada. Así por ejemplo, vamos a empezar metiendo el número 2 a la función (ese primer número con el que empezamos se llama semilla). Como la función calcula el cuadrado el resultado de salida será un 4. Si ahora cogemos ese 4 y lo metemos a la entrada de la función nos dará 16. Y ahora podríamos coger el 16 y meterlo otra vez a ver qué sale y así una y otra vez. Matemáticamente podríamos escribir todo esto de la siguiente manera:

f(2)=4

f(4)=16

f(16)=256

f(256)=65536

...

Otra forma de expresar lo anterior es mediante una serie:

2, 4, 16, 256, 65536,...

Es evidente que nos van a ir saliendo números más y más grandes. Se dice entonces que la serie anterior es una serie divergente. ¿Qué ocurriría si en vez de con el número 2 empezamos con otro semilla? ¿Vamos a obtener siempre una serie divergente? Probemos con otro número. Por ejemplo, con la semilla 0.5 tendríamos: f(0.5)=0.25, f(0.25)=0.0625, etc... Se ve más claro en forma de serie:

0.5, 0.25, 0.0625, 0.00390625,...

Es decir, en este caso los números no se hacen cada vez más grandes como ocurría antes y podemos afirmar que si partimos de la semilla 0.5 se tiene ahora una serie no divergente. Así que acabamos de ver así que hay semillas (por ejemplo x=2) que nos dan series divergentes y otras semillas (por ejemplo x=0.5) que no. La pregunta clave es ¿para qué semillas vamos a obtener series no divergentes? Si lo pensamos bien veremos que si la semilla toma cualquier valor entre -1 y 1 tendremos series no divergentes. Podéis hacer la prueba eligiendo cualquier semilla que esté en el conjunto de los números entre -1 y +1 (recuerda que los números negativos al elevarlos al cuadrado dan resultados positivos).

Vale, ¿pero qué tiene que ver esto con el extraño dibujo de arriba, o sea, con los conjuntos de Julia? Bueno, para verlo tenemos que complicarlo un poco. En vez de trabajar con números reales vamos a trabajar con números complejos (ya hemos hablado en M4TES sobre los números complejos al comentar la hipótesis de Riemann: pincha aquí). Usaremos en adelante la letra z en vez de x porque esa es la notación habitual para los números complejos. También vamos a modificar la función: ahora, además de elevar al cuadrado, vamos a restar una unidad, es decir, la nueva función compleja que nos interesa es:

f(z)=z²-1.

La pregunta es la misma de antes: ¿para qué semillas vamos a obtener series no divergentes? Eso sí, ahora hay que tener en cuenta que las semillas son números complejos y, por tanto, tienen dos coordenadas y gracias a ello las podemos representar en el plano complejo. Eso es precisamente lo que se ha hecho en el dibujo de arriba para la función f(z)=z²-1: se han pintado en color negro los puntos del plano que corresponden a semillas que dan series no divergentes y se han dejado en blanco el resto de puntos que sí dan series divergentes. (No se han señalado los ejes de coordenadas del plano complejo). Al conjunto negro se le llama conjunto de Julia y al blanco se le llama conjunto de Fatou.

Hay que recordar que la suma de números complejos se define coordenada a coordenada como:

(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d),

mientras que la multiplicación de números complejos se define de forma un poco más complicada mediante la expresión:

(a,b) · (c,d) = (ac-bd, ad+bc).

Por ejemplo, si empezamos con la semilla de coordenadas complejas (1,1) obtendríamos para la primera salida de f(z)=z²-1 lo siguiente:

(1,1)² - 1 = (1,1) · (1,1) - (1,0) = (1-1,1+1) - (1,0) = (0,2) - (1,0) = (-1,2)

y utilizando este número como nueva entrada obtendríamos ahora:

(-1,2)² - 1 = (-1,2) · (-1,2) - (1,0) = (1-4,-2-2) - (1,0) =  (-3,-4) - (1,0) = (-4,-4)

Podemos continuar y obtener así la siguiente serie divergente para la semilla (1,1):

(1, 1),  (-1, 2),  (-4, -4),  (-1, 32),  (-1024, -64),  (1044479, 1310721), ...

Así pues, el punto del plano complejo (1,1) lo pintaríamos en blanco, pues pertenece al conjunto de Fatou.

Sin embargo, para la semilla (0.1, 0.2) obtendríamos una serie que no diverge. Representamos las primeras iteraciones con una aproximación hasta la cuarta cifra decimal:

(0.1, 0.2),  (-1.03, 0.04),  (0.0593, 0.0824),  (-1.3273, -0.0098),  (0.7617, 0.0259), ...

Entonces el punto (0.1, 0.2) lo pintaríamos en negro (pertenece al conjunto de Julia).

Este mismo procedimiento que hemos hecho con dos puntos (semillas) podríamos repetirlo con cientos o miles de puntos del plano con la ayuda de un ordenador que realice los cálculos y decida si hay que pintarlos blancos (diverge) o negros (no diverge).

Para otras funciones distintas también podemos estudiar los conjuntos de Julia y obtener gráficos tan llamativos como el siguiente para la función f(z)=z²-c, donde c=(-0.8, 0.156):

 

Julia_-0.8_0.156.png

 

¿Los colores? Muy fácil: no todas las series divergen igual de rápido. Simplemente se ha establecido una gradación en el color según la rapidez con la que divergen.

 

REFERENCIAS:

https://danpearcymaths.wordpress.com/2013/05/30/introduction-to-fractal-geometry-2-julia-sets-and-the-mandelbrot-set/

http://ibmathsresources.com/2015/03/29/mandelbrot-and-julia-sets-pictures-of-infinity/

https://plus.maths.org/content/unveiling-mandelbrot-set

http://www.easyfractalgenerator.com/julia-set-generator.aspx

http://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set

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