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Los tres ángulos de un triángulo suman 180º. Dos rectas paralelas son siempre equidistantes. ¿Son estas archiconocidas afirmaciones geométricas realmente verdaderas? Bueno, pues la respuesta no es nada evidente. Hasta el punto de que hicieron falta más de dos mil años para que alguien consiguiera explicarlo bien. Y después de tanto tiempo dándole vueltas a la pregunta y de tantos esfuerzos vanos, resultó que de repente casi a la misma vez tres matemáticos (un ruso, un húngaro y un alemán) dieron con la clave de manera independiente.

Empecemos por el principio, o sea, por Euclides. Su libro los Elementos parte de algunas definiciones básicas y de cinco postulados. Estos últimos son verdades evidentes que hacen que toda la geometría propuesta por él sea consistente y permiten construir sobre ellos el resto de resultados. No son proposiciones o teoremas que hayan de ser demostrados, sino que son afirmaciones tan simples y lógicas que no pueden ser de otra forma. En un lenguaje moderno, los cinco postulados que escribió Euclides vienen a decir lo siguiente:

  • Postulado I: Se puede trazar una línea recta de un punto cualquiera a otro punto cualquiera.

  • Postulado II: Un segmento se puede extender indefinidamente en una línea recta.

  • Postulado III: Se puede trazar una circunferencia con cualquier centro y radio.

  • Postulado IV: Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

  • Postulado V: Si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos ángulos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

 

 

Hay algo raro aquí, ¿verdad? Mientras que los cuatro primeros postulados son verdades de Perogrullo, el postulado V es mucho más largo y menos claro. Parece más bien un teorema que pudiera ser demostrado a partir de los cuatro postulados previos. De hecho, así lo creyeron muchos matemáticos que durante casi veintidós siglos fracasaron en encontrar una prueba del quinto postulado. Eso sí, por el camino fueron apareciendo multitud de formulaciones equivalentes y algo más breves, como por ejemplo:

- Por un punto exterior a una recta dada se puede trazar una única recta paralela. A esta formulación se la conoce también como axioma de Playfair (finales s. XVIII). Es una de las formas equivalentes más comunes de enunciar el quinto postulado de Euclides, que también se llama comúnmente por ello el “postulado de las paralelas”.

O esta otra tan famosa:

- La suma de los ángulos de un triángulo es de dos ángulos rectos. La equivalencia entre esta afirmación (bien conocida ya hacia el s. IV a.C) y el quinto postulado de Euclides se debe al matemático francés Legendre (s. XIX).

Por cierto, ¿os acordáis de la "demostración" que nos enseñaban en la escuela para ver esto de que los ángulos de un triángulo suman 180º? Para empezar se trazaba una paralela a uno de los lados del triángulo por el vértice opuesto y... es decir, ¡que se usaba en el fondo el quinto postulado!

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Así es como lo demuestra el propio Euclides en la proposición número 32 del primer libro de los Elementos. No tiene más remedio que usar su quinto postulado, algo que sí que consiguió evitar en sus primeras 28 proposiciones. Probablemente, Euclides ya veía algo raro en el último postulado y trataba de dejarlo de lado para demostrar sus teoremas en la medida de lo posible.

Pero vamos ya a los tres matemáticos (el ruso, el húngaro y el alemán):

• El ruso: Nikolai Lobachevski. En un trabajo publicado en 1829 propuso una nueva geometría en la que no se prohibía que por un punto exterior a una recta pudieran trazarse dos o más rectas paralelas a la primera (es decir, dos rectas distintas tales que ninguna de ellas se cruzara con la primera recta) . En otras palabras, Lobachevski se preguntó que ocurriría al postular lo contrario al axioma de Playfair. Y lo que obtuvo fue una geometría no euclidiana sin ninguna contradicción lógica, tan válida como la de Euclides, aunque difícilmente imaginable. Pero precisamente el paso de lo palpable a lo abstracto es la clave de la matemática moderna. Partiendo de los cuatro primeros postulados de Euclides y de la afirmación opuesta al quinto postulado podían obtenerse teoremas en los que todo cuadraba. Las cosas cambiaban ahora, claro, por ejemplo la suma de los ángulos de los nuevos triángulos “imaginarios” de Lobachevski tenía que ser menor de 180º. Cómo dibujarlos era otra cosa ya...

  El húngaro: János Bolyai. Su padre, el también matemático Farkas Bolyai, había pasado años y años intentando infructuosamente probar el quinto postulado de Euclides y no dudó en tratar de disuadir a su hijo János de que siguiera sus pasos: un camino que podría acabar obsesionándolo a costa de la salud, la cordura y la felicidad. Pero János perseveró y acabó llegando a las mismas conclusiones que Lobachevski. Los resultados de János Bolyai, fechados también en 1829, no fueron publicados, sin embargo, hasta tres años después, en un anexo a un tratado de su padre. En cualquier caso, no queda duda de que János Bolyai llegó a las mismas conclusiones que Lobachevski de manera independiente, entre otras cosas porque este último había escrito sus trabajos en ruso, y no fueron conocidos en Europa occidental hasta años más tarde.

 El alemán: Carl Friedrich Gauss. Apodado el Príncipe de los matemáticos, es unánimemente reconocido como uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos, junto con Arquímedes y Newton. En el año 1829 (otra vez el mismo año, sí), Gauss expone a un colega en una carta privada que había hecho extensas investigaciones sobre una geometría sin el quinto postulado de Euclides pero que no se atrevía a publicarlas por la enorme controversia que esta nueva geometría podría suponer en la comunidad matemática. No olvidemos que en esa época Gauss gozaba ya de un reconocimiento importante y se encontraba en una situación cómoda. Así que cuando Farkas Bolyai envía una copia con los resultados de su hijo a su colega y amigo Gauss, éste le contesta que:

“Si empiezo diciendo que no puedo alabar semejante trabajo te sentirás desconcertado, pero no puedo hacer otra cosa, porque alabarlo sería alabarme a mí mismo, pues todo el contenido del escrito, el camino seguido por tu hijo y los resultados a los que ha llegado coinciden casi completamente con mis meditaciones, parte de las cuales han tenido lugar desde hace 30 o 35 años”

En cualquier caso, Gauss no dudó después en reconocer públicamente la originalidad y genialidad de las publicaciones de Janos Bolyai (que conoció en 1832) y de Lobachevski (que conoció en 1841).

 

Si la geometría de Euclides correspondía a triángulos cuyos ángulos sumaban exactamente 180º, la nueva geometría de Gauss/Bolyai/Lobachevski (conocida como geometría hiperbólica) corresponde a triángulos cuyos ángulos suman menos de 180º. El caso restante, a saber, triángulos con más de 180º, daba una geometría con contradicciones lógicas y por tanto no válida, por lo que Gauss, Bolyai y Lobachevski la desecharon desde el principio.

Pero algunos años más tarde Bernhard Riemann –el de la complicadísima hipótesis de Riemann– dio otro paso. Si además del quinto postulado de Euclides, eliminamos también el segundo postulado, entonces sí que podemos tener una geometría cuyos triángulos tengan ángulos que sumen más de 180º y que sea consistente desde un punto de vista lógico. En este segundo tipo de geometría no euclidiana, llamada geometría elíptica, las líneas rectas podemos decir que son como círculos, de manera que tienen una longitud finita pero a su vez no tienen fin. Y a diferencia de la geometría hiperbólica, esta sí que es fácil de imaginar porque es la que se encuentra, por ejemplo, en una superficie esférica. Basta pensar en el triángulo que se formaría sobre la superficie de un nuestro planeta a partir de dos meridianos y el ecuador. Dos de sus ángulos serían rectos y todavía habría que sumarles un tercero (el del polo), con lo que su suma sería siempre mayor de 180º.

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Así que para cerrar habría que añadir a Riemann con su geometría elíptica como pionero –junto con Bolyai, Lobachevski y Gauss con la geometría hiperbólica– de las llamadas geometrías no euclidianas, que podemos decir que son geometrías curvas, en contraposición a la geometría plana euclídea. Pero, ojo, que desde un punto de vista de la lógica matemática son tan buenas unas como otras.

 

REFERENCIAS

- Carl B. Boyer and Uta Merzbach, A history of mathematics 3rd ed., John Wiley & Sons, Inc (2011)

- William Dunham, Journey through genius: the great theorems of mathematics, Penguin books (1991)

- https://plus.maths.org/content/mathematical-mysteries-strange-geometries

- https://es.wikipedia.org/wiki/Postulados_de_Euclides

- https://es.wikipedia.org/wiki/Quinto_postulado_de_Euclides

- http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/html/sigloxix/Carl%20Friedrich%20Gauss.htm

- https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_geometry

- https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Triangles_(spherical_geometry).jpg#/media/File:Triangles_(spherical_geometry).jpg

 

  • Guest - M4TES

    Seguro que Riemann resolvería el siguiente acertijo en un abrir y cerrar de ojos: Un oso camina 10 km hacia el sur, 10 hacia el este y otros 10 hacia el norte para volver al punto de partida. ¿De qué color es el oso?

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