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¿Cuántos colores hacen falta para colorear un mapa sin que dos países o regiones adyacentes tengan el mismo color? ¡Cuatro nada más! ¿Seguro? Pues sí, segurísimo porque hay un teorema matemático para ello. El teorema de los cuatro colores fue conjeturado en 1852, pero la demostración no llegó hasta mucho mucho más tarde: un siglo y cuarto después. Y además, vino cargada de polémica...

Antes de nada, veamos qué dice el teorema de los cuatro colores. En lenguaje sin demasiados tecnicismos es algo así:

"Cualquier mapa geográfico con regiones continuas se puede colorear con cuatro colores diferentes de forma que no queden paíes fronterizos con el mismo color"

Hay que tener en cuenta algunos aspectos básicos:

- Los países pueden modelizarse mediante lo que los matemáticos llaman grafos. Así que realmente el teorema de los cuatro colores puede formalizarse en un lenguaje mucho más complicado... pero vamos, que al final, viene a decir lo mismo.

- Cuando se dice "cualquier mapa" se refiere efectivamente a cualquiera, bien sea un mapa real o bien un mapa imaginario rarísimo que se nos ocurra dibujar.

- Los países han de ser "continuos" (los matemáticos dirían "simplemente conexos"), lo que quiere decir que no deben estar formados por regiones geográficas separadas (como ocurre, por ejemplo, con Alaska y el resto de EEUU), pues de lo contrario podría darse el caso de que dos partes de un mismo país no pudieran pintarse con el mismo color. De todas formas el mapa del mundo actual es tan simple (desde un punto de vista de grafos matemáticos) que aunque haya algunas regiones aisladas del resto de su país, aun así es suficiente con cuatro colores para asegurar que todas las partes de un mismo país son del mismo color.

- El agua no se colorea, se deja en blanco. En caso contrario necesitaríamos, en general, un color más.

- Los países pueden tener un punto en común del mismo color, pero no una línea. Es lo que ocurre en el siguiente mapa imaginario con 6 países con forma triangular y que con sólo 2 colores pueden distinguirse claramente.


punto_en_comun.png

 

Como en el ejemplo anterior, hay casos en los necesitamos menos de cuatro colores. Lo que el teorema dice es que con cuatro colores seguro que tenemos suficiente para cualquier mapa continuo. Nunca jamás vamos a necesitar un quinto color si elegimos con buen criterio el color para cada país... ¿Y es muy difícil pensar en un mapa en donde necesitemos usar todos los colores, o sea, los cuatro? Pues no, es lo que ocurre cuando tenemos un país con un número impar de vecinos con frontera entre sí:

heptagono.png

Pero claro, un teorema necesita una demostración para dejar de ser una mera conjetura. Y, como dijimos al principio, esa demostración costó mucho tiempo. Desde que Francis Guthrie conjeturó en 1852 que cuatro colores eran suficientes, se sucedieron bastantes supuestas demostraciones que resultaron ser erróneas a la postre. Hasta que en 1976, K. Appel y W. Haken consiguieron reducir el problema a algo menos de 1500 configuraciones. Aunque usaron conceptos complicados de teoría de grafos, eso quería decir, en el fondo, que era como si todos los mapas imaginables fueran, o bien casos que ya se sabía que necesitaban 4 o menos colores, o bien casos que pudieran clasificarse en uno de los 1500 mapas reducidos que ellos propusieron. Con lo cual, sólo hacía falta estudiar esos 1500 mapas...

Pero seguían siendo muchos mapas para colorear. Lo bueno es que ya no se trataba de probar con infinitos mapas imaginables, como al principio, sino que ahora había que "colorear" un número finito. Y 1500 mapas podían ser mucho para una persona, pero no para un ordenador con la potencia de cálculo de los que ya se estaban construyendo por aquella época. En concreto, el ordenador estuvo haciendo cálculos durante 1200 horas, o sea, ¡50 días completos! Y al final la conclusión fue la sospechada: todos los mapas podían ser coloreados con 4 colores o menos.

La demostración fue más que polémica. Primero, porque no era una prueba elegante como las demostraciones por reducción al absurdo clásicas o las contundentes demostraciones directas de toda la vida. Era una demostración por fuerza bruta. Y segundo, porque los cálculos eran tantos que ni siquiera un humano podría reproducirlos en un tiempo razonable. Dependía directamente de una máquina. ¿Y si la máquina estaba mal programada? ¿Y si una operación fallaba porque un circuito sufría una subida de tensión?

Sea como fuere, la comunidad matemática acabó aceptando como válida la demostración. Y años después, en 1997 y en 2005, nuevas pruebas, también informáticas (ay), corroboraron una vez más el teorema de los cuatro colores.

 

Antes dijimos que "nunca jamás" íbamos a necesitar un quinto color. Bueno, eso de nunca jamás suena demasiado definitivo ¿no? Lo cierto es que este es un resultado que vale para mapas en un plano bidimensional (como los ejemplos que mostramos aquí) o incluso para mapas curvos sobre una esfera (pensemos en una bola del Mundo con la esfera terrestre). Se dice que el número cromático de estas superficies es 4. Pero hay otras superficies más complejas. Por ejemplo, si encontráramos un planeta con forma de donuts (esa forma se llama en matemáticas  un toro) y tuviéramos que hace un mapa con sus regiones (puestos a imaginar, pensemos que también tuvieran una organización en países y regiones como nosotros), entonces es posible que con 4 colores no tuviéramos suficiente porque el número cromático de un toro es 7. Es decir, que si en el Planeta Toro deciden hacer una división geográfica con mala idea, como la de la imagen de abajo, harían falta 7 colores para separar los países. Pero no más, eh.

 

Projection_color_torus.png

 

REFERENCIAS:

Carl B. Boyer and Uta Merzbach, A history of mathematics 3rd ed., John Wiley & Sons, Inc (2011)

https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_cuatro_colores

http://mathworld.wolfram.com/ChromaticNumber.html

http://mathworld.wolfram.com/TorusColoring.html

http://people.math.gatech.edu/~thomas/FC/fourcolor.html

https://commons.wikimedia.org/wiki/File%3AFour_color_world_map.svg

 https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Projection_color_torus.png#/media/File:Projection_color_torus.png

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