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Cuando la intuición falla, las matemáticas vienen a echarnos un cable. Y de eso vamos a hablar: de cables. Imaginad uno larguísimo que diera la vuelta al planeta, pongamos por el ecuador, de manera que los dos extremos se tocaran a malas penas, o sea, sin que sobrara nada. Imaginad ahora que separamos el cable un solo centímetro de la superficie de la Tierra a lo largo de toda su extensión. Entonces el cable se va a quedar corto y los extremos ya no llegarán a tocarse. Falta cable, eso está claro, pero cuánto. Así a ojo, habiendo separado sólo 1 cm el cable, ¿cuánto diríais, más o menos, que nos faltaría para volver a unir los extremos?

¿Ya? ¿Habéis hecho una apuesta? Pues ahora vamos a las cuentas. Adiós intuición, hola matemática.

Veamos, el cable alrededor del ecuador forma una circunferencia cuya longitud, que denotaremos por la letra l minúscula, viene dada por la fórmula

l=2πr, (1)

donde π es el número pi (del que ya hablamos aquí) y r es el radio de la Tierra. El (1) entre paréntesis es para nombrar esta primera ecuación que luego vamos a usar.

Si separamos el cable de la Tierra ahora tendremos un radio mayor, que podemos llamar R mayúscula, y la nueva circunferencia tendrá por longitud

L=2πR. (2)

Como R es un centímetro mayor que r podemos escribir

R=r+1, (3)

con lo que la ecuación (2) quedaría como L=2π(r+1). O bien, usando la propiedad distributiva para quitar el paréntesis:

L=2πr+2π. (4)

Y como 2πr es precisamente la longitud del cable pegado a la Tierra, como vimos en la ecuación (1), entonces podemos escribir la ecuación (4) como:

L=l+2π (5)

¿Y qué nos dice está ecuación última? Pues que la longitud del cable separado, L mayúscula, sólo se diferencia de la longitud del cable pegado, l minúscula, en 2π. Como π vale aproximadamente 3,14, la diferencia es aproximadamente de 6,28. Y cómo diría la profesora de física y química ¿6,28 qué? ¿peras, manzanas, euros? Pues está claro, en la ecuación (3) el 1 era en realidad 1 centímetro, así que ahora estos 6,28 son 6,28 centímetros.

¡Ajá! ¡Menos de 7 cm de diferencia! ¿Funcionó vuestra intuición? ¿Sí?, Bien. ¿No?, ¿pensabais que 1 solo centímetro a lo largo de los miles de kilómetros del ecuador iba a ser al final un montón de cable?

Pero las ecuaciones dicen todavía más cosas. Si os fijáis con cariño en la ecuación (5) veréis que el resultado no depende del radio. De hecho, tampoco hemos usado en ningún momento el valor del radio de la Tierra. Así que esos 6,28 centímetros serían también la longitud que nos faltaría si primero ajustamos el cable alrededor de una moneda y luego lo separamos 1 cm por todos lados. Da igual el tamaño de la circunferencia.

Pero por si todavía queda algún escéptico que confía más en su intuición errónea que en las matemáticas, os pongo todavía un ejemplo más claro, con número para que no haya que marearse con fórmulas. Y para que sea más fácil, en vez de un planeta redondo, vamos a imaginar un planeta cuadrado (al fin y al cabo ya imaginamos una vez en M4T.ES un planeta en forma de toro, no nos vamos a asustar ahora). Pongamos que tiene 10000 kilómetros en cada lado y que le colocamos el cable alrededor, o sea, que gastamos 40000 km de cable. Ahora separamos el cable 1 centímetro por todos los lados, ¿cuánto cable necesitaríamos? Pues los 40000 km de antes y 8 centímetros más como podéis ver en la imagen de abajo. Es verdad que esta vez no salen los 6,28 centímetros de las circunferencias, pero 8 centímetros es bastante parecido. Desde luego no son kilómetros y kilómetros de cable extra.

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  • Guest - Euler

    Estoy viendo los hexágonos del fondo de la foto del mundo... uno de los tres polígonos regulares que teselan el plano! :D:D:D:p

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