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Una clase de tamaño normal en un instituto de secundaria, digamos de 30 alumnos. Un profesor de matemáticas alegre que propone al principio de curso hacer una pequeña celebración el día del cumpleaños de cada uno. O sea, 30 fiestas...¡Espera! A lo mejor son menos fiestas de cumpleaños porque puede darse la casualidad de que dos alumnos de la clase cumplan años el mismo día. No hay gemelos en la clase, así que eso parece mucha casualidad... ¿o no tanta?

Pues vamos a calcular cuál es esa probabilidad de forma exacta. Pero antes hay que repasar algunas cosas:

• Aunque normalmente decimos que la probabilidad de que llueva es del 75%, los matemáticos nunca dan la probabilidad en tanto por ciento, sino en "tanto por uno". Diríamos entonces que la probabilidad es 0.75. Así que algo que ocurra seguro (100%) tiene una probabilidad de 1.

• Si la probabilidad de que llueva es del 75% (perdón, hemos dicho que se dice en tanto por uno: 0.75), entonces la probabilidad de que no llueva es del 25% (perdón de nuevo, 0.25). Así que la probabilidad de una cosa se puede obtener calculando la de lo contrario y restándosela al número 1.

• Si lanzamos un dado y nos preguntamos por la probabilidad de que salga un número par la probabilidad será 3/6 = 0.5 porque hay 3 casos favorables que nos valen (los números pares: 2, 4 o 6) de 6 casos posibles (1, 2, 3, 4, 5 o 6). Esto funciona siempre que el dado no esté trucado (en general se dice que los sucesos elementales han de ser equiprobables) y se llama regla de Laplace (ya la usamos una vez para calcular el número π a cañonazos):

probabilidad = nº de casos favorablesnº de casos posibles

• Si en vez de 1 dado tiramos 3 dados y queremos que salga un número par en los tres a la vez, entonces la probabilidad de que eso ocurra se obtiene multiplicando las probabilidades de cada uno de ellos por separado, lo que da 0.5·0.5·0.5=0.125. Esto regla de multiplicar las probabilidades funciona siempre que los "experimentos" individuales sean independientes uno de otro.

Volvamos a nuestra clase de 30 alumnos. Queríamos saber la probabilidad de que hubiese al menos dos personas que cumplieran años el mismo día. Vamos a hallar primero lo contrario, es decir, la probabilidad de que nadie cumpla años el mismo día, y luego se la restamos a 1.

Podríamos hacerlo de la siguiente forma. El primer alumno dice su fecha. El segundo alumno habla a continuación. Lo normal es que no cumpla años el mismo día que el primero. De hecho, le valen para no coincidir 364 días de los 365 días del año. Así que, de acuerdo a la regla de Laplace, la probabilidad de no coincidir para el segundo alumno será 364/365. Y ya hay dos fechas cogidas. El tercer alumno tiene entonces 363 días favorables de los 365 días posibles del año: una probabilidad de 363/365. Y cuando llegamos al último alumno, ya habría 29 fechas cogidas y quedarían libres, por tanto, 336, con lo que su probabilidad de no coincidir es de 336/365.

Pues ahora ya está casi. La probabilidad de que cada uno de ellos tenga una fecha única la podemos obtener multiplicando las probabilidades anteriores, es decir,

364/365 · 363/365 · ··· · 336/365

No sufráis, que ya os decimos el resultado que da esa cuenta: 0.294. Eso en porcentaje es un 29.4%. Y la probabilidad de lo contrario, a saber, de que SÍ que haya gente en la clase que cumpla años es mismo día es del 70.6%.

Así que hay casi un 71% de que SÍ que haya coincidencias frente a un 29% de que NO. El resultado puede resultarnos sorprendente y es por ello que incluso se conoce este problema como la paradoja del cumpleaños. De hecho, haciendo el mismo razonamiento puede verse que a partir de sólo 23 alumnos en la clase, es más probable que dos o más celebren el cumpleaños el mismo día que que no. Y a partir de grupos de 41 personas la probabilidad se eleva ya a más del 90%.

Por último habría que señalar algunos detalles si queremos profundizar un poco:

• No hemos tenido en cuenta que los años pueden ser bisiestos. Pero considerar que a veces los años son de 366 días en lugar de 365 no aporta mucho cambio.

• Cuando se trata de nacimientos las fechas en que ocurren no son equiprobables. Aunque no hay mucha diferencia, hay meses del año en que la natalidad es superior. Estricto sensu no podríamos haber aplicado la regla de Laplace por aquello de que los sucesos tenían que ser equiprobables. Pero en cualquier caso la aproximación es bastante acertada e incluso tener en cuenta estas sutilezas haría que todavía fuese más probable la coincidencia.

• Realmente si pensamos que es relativamente frecuente que haya gemelos en una misma clase, las probabilidades de coincidencias serían todavía mayores.

• No es difícil escribir la fórmula que nos da la probabilidad de coincidencia para una clase de n alumnos. Para n mayor o igual que 366 seguro que ya hay coincidencia (sin tener en cuenta años bisiestos) y la probabilidad sería 1. Para valores de n comprendidos entre 1 y 365 la fórmula es:

formula.png

donde el signo de exclamación es el factorial. Por ejemplo 6! = 720 porque 6·5·4·3·2·1=720.

• La fórmula anterior queda muy bien pero no es demasiado práctica porque el factorial de 365 es un número tan gigantesco que no cabe en la calculadora. Por suerte se compensa en parte con el factorial del denominador para valores bajos de n (es lo que nos pasó en nuestro ejemplo con n = 30). Para valores altos de n la cosa se complica y conviene usar aproximaciones a la función factorial.

En fin, volviendo a nuestra clase, resulta que probablemente el alegre profesor de matemáticas se perderá alguna fiesta de cumpleaños porque habrá que juntar dos el mismo día. O incluso a lo mejor cumplen años los 30 alumnos a la vez y hay una única fiesta antológica... aunque eso ya parece muy muy muy improbable... ¿o no tanto? ¿qué pensáis? ¿sabríais calcular esa probabilidad? Porque después de esta entrada de M4TES y de la de la cuerda alrededor del mundo ya no puede uno fiarse mucho de su intuición.

 

REFERENCIAS:

https://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem

http://www.bbc.com/news/magazine-27835311

https://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_del_cumplea%C3%B1os

Ilustración de Elena Vicente Herranz

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