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 Un segmento tiene dimensión 1 (largo), un cuadrado tiene dimensión 2 (largo y ancho) y un cubo tiene dimensión 3 (largo, ancho y alto). Esta noción de dimensión es la que aprendimos en el colegio y que los matemáticos llaman dimensión topológica. Pero hay otras formas de entender la dimensión que, en cierta manera, generalizan el concepto anterior, permitiendo estudiar objetos más complicados como los fractales (ya sabéis, esas figuras que exhiben un patrón repetido a diferentes escalas). Y el resultado, como casi todo lo que tiene que ver con los fractales, es sorprendente: ¡dimensiones con decimales!

Siguiendo los pasos de Benoît Mandelbrot –el matemático que acuño el término fractal vamos a definir una nueva dimensión, que llamaremos dimensión fractal, en términos de proporcionalidad geométrica. Pues venga, a ver cómo queda ahora la dimensión para el segmento, el cuadrado y el cubo.

Empecemos con el segmento. Imaginemos que el segmento mide 1 metro y que lo dividimos en tres partes iguales. Cuando hacemos esto resulta que el segmento original de 1 m contiene entonces 3 segmentos pequeños, cada uno de ellos de tamaño 1/3 de metro. Decimos que tenemos N = 3 segmentos autosemejantes (o autosimilares) tras haber aplicado un factor de escala de ε = 1/3.

segmento_captura.jpgVeamos ahora qué pasa con un cuadrado de lado 1 m. Como hemos hecho antes, vamos a dividir cada dirección espacial entre 3 (o sea ε = 1/3 otra vez). Así, obtendremos un cuadrado que estará formado por N = 9 cuadrados pequeños autosemejantes ya que al haber dos direcciones espaciales tenemos 3·3 = 32 = 9 cuadraditos.

cuadrado_captura2.jpg

 

Y ahora a por el cubo de 1 m de arista. Al partir en tres trozos tanto el ancho, como el largo y el alto (o sea ε = 1/3) habremos dividido el cubo en N = 27 cubos pequeños (3·3·3 = 33 = 27).

cubo_captura.jpg

La pregunta que nos interesa es “¿qué relación hay entre N y ε para cada caso?” Lo resumimos en la siguiente tabla (daos cuenta que ε = 1/3 quiere decir que 1/ε = 3: fracciones básicas)

tabla2.jpg

Vemos así en la última columna que el exponente D de la relación

N = (1/ε)D

coincide con la dimensión topológica habitual. Por supuesto podríamos haber utilizado otro factor de escala y obtendríamos el mismo exponente. Para el caso del cuadrado, por ejemplo, si el factor de escala es ε = 1/4 aparecerían N = 16 cuadrados como el original, es decir, que la relación N = (1/ε)D sería 16 = 4² y de nuevo D = 2. Todo cuadra.

¿Y para qué tanta historia si ya habíamos aprendido en el colegio la dimensión de esos objetos de forma mucho más simple? Pues porque esta dimensión D es la que vamos a generalizar para los fractales. Lo mejor será verlo con un ejemplo concreto: la curva de Koch.

La curva de Koch se construye como sigue:

• Empezamos con un segmento de 1 metro.

• Lo dividimos mentalmente en 3 partes iguales (cada una medirá por lo tanto 1/3 de metro) y sustituimos el segmento del tercio central por dos segmentos (haciendo un pico como se ve en el dibujo) que midan también 1/3 de metro cada uno. Al final todos los segmentos que nos quedan miden 1/3 m, es decir, ε = 1/3.

koch1.jpg

• Vamos repitiendo el paso anterior indefinidamente.

koch2.jpg

Así en cada iteración tenemos más y más segmentos (y más y más picos), pues cada vez estamos cambiando un segmento (que podemos imaginar que está formado por 3 tercios) por 4 segmentos (cada uno de ellos de la longitud de los tercios mencionados). Evidentemente la longitud total irá aumentando en cada iteración y podemos por ello decir que la curva de Koch tiene longitud infinita. Es un infinito un poco raro porque el espacio que ocupa la curva está acotado pero no así su longitud. En fin, cosas de fractales.

Total que resulta que con un factor de escala ε = 1/3 obtenemos N = 4 segmentos autosemejantes cada vez. Y si nos vamos a la fórmula para la dimensión fractal D, ya sabéis, la de N = (1/ε)D, tenemos entonces al sustituir:

4 = 3D

Sólo queda despejar la dimensión D. Está claro que D tiene que ser un número mayor que 1 (porque 31 = 3, que no llega a 4) pero menor que 2 (porque 32 = 9, que se pasa de 4). Así que será 1 y pico, o sea, que D es un número con decimales. ¿Y cuál es el valor exacto? Es fácil si os acordáis de los logaritmos... y si no, pues tampoco hay que agobiarse, ya os lo decimos. Se despeja así:

D = log(4)/log(3)

Como todas la calculadoras científicas tienen la tecla para calcular logaritmos es sencillísimo hacer la cuenta, que da

D = 1.26

¡Una dimensión decimal! (bueno, la verdad es que después de avisar tanto de que iba a salir con decimales casi que sobran los signos de exclamación, ¿no?). Es como sí la curva de Koch con sus infinitos picos de alguna forma tuviera más dimensión que una curva unidimensional de toda la vida y pretendiera acercarse a a las dos dimensiones, pero sin llegar a conseguirlo.

Cálculos análogos pueden hacerse para encontrar la dimensión fractal de otros objetos. En general, de nuestra fórmula N = (1/ε)D podemos despejar D aplicando logaritmos para obtener:

D = log(N)/log(1/ε)

Por ejemplo, para el triángulo de Sierpinski sabemos que cada vez que dividimos por 2 el lado del triángulo (esto es, ε = 1/2) obtenemos el triple de triángulos autosemejantes (esto es, N = 3). La fórmula anterior nos da entonces para la dimensión fractal D = 1.58. ¡Todavía más que la curva de Koch! E incluso, para algunos conjuntos de Julia podemos tener una dimensión fractal D = 2, es decir, son curvas unidimensionales (topológicamente hablando) tan enrevesadas que acaban de alguna forma comportándose como objetos bidimensionales que rellenan el plano completamente.

Y para acabar haciendo honor a los fractales, volvamos al primer párrafo. Allí dijimos que “hay otras formas de entender la dimensión“. Sí, dijimos eso, formas. En plural. O sea, que hay varias maneras de definir la dimensión fractal, aunque no creo que a estas alturas nadie quiera enredarse con los detalles de las dimensiones de Hausdorff-Besikovitch o de Minkowski-Bouligand...

 

REFERENCIAS:

http://www.learner.org/courses/mathilluminated/units/5/textbook/06.php

https://en.wikipedia.org/wiki/Fractal_dimension

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_fractals_by_Hausdorff_dimension

https://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Fractales_por_dimensi%C3%B3n_de_Hausdorff

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Koch_curve.svg

http://natureofcode.com/book/chapter-8-fractals

 

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