god_gimp_2.jpgEl cubo de Rubik es ese juguetito que triunfó en la década de los 80 del siglo pasado y que consiste en romperse la cabeza hasta conseguir que cada una de las 6 caras de un hexaedro (o sea, un cubo) esté formada por 9 cuadraditos del mismo color. Una cara puede girar independientemente de las otras gracias a un mecanismo de ejes. Cada movimiento de las caras del cubo de Rubik hace que se vayan cambiando las posiciones de los colores de los cuadrados. Es un invento del maligno, nadie lo duda. Pero aquí no vamos a hablar de demonios, sino de dioses, en concreto del "número de Dios" o, lo que es igual, el número mínimo de movimientos que son suficientes para resolver un cubo de Rubik por muy desordenado que esté.

Pero antes de deciros cuál es el número de Dios vamos a definir bien todo. Si las clases del instituto te pillaron en el siglo XX es casi seguro que te explicarían qué es lo que los matemáticos entienden por un grupo. Sin embargo, ahora todo eso de los grupos ya no está tan de moda, así que mejor lo repasamos...

Un grupo es una estructura matemática muy general formada por dos ingredientes: un conjunto y una operación entre los elementos del conjunto. Esa operación coge dos elementos del conjunto y al operarlos saca otro elemento también del conjunto, de forma que se cumplen las siguientes condiciones:

  1. En el conjunto hay un elemento (llamado elemento neutro) con la propiedad de que al operar un elemento cualquiera por el elemento neutro se obtiene el mismo elemento. Es decir, que operar con el elemento neutro es como no hacer nada.
  2. Para cada elemento del grupo existe otro elemento (llamado su inverso) de suerte que al operarlos juntos se obtiene el elemento neutro.
  3. La operación es asociativa. Esto quiere decir que si tenemos tres elementos del conjunto y operamos el primero con el segundo y luego lo que nos dé lo operamos con el tercero, vamos a obtener el mismo elemento que si operamos el primero con el resultado de la operación del segundo con el tercero.

Ya está, esto es un grupo: una pareja de conjunto y operación con las propiedades anteriores. Más claro se verá con un ejemplo. El conjunto de los números enteros con la operación suma tiene estructura de grupo. En efecto, se cumplen las tres condiciones:

  1. El elemento neutro es el número 0. Para cada número a tenemos que a+0 = a. También hay que comprobar que se cumple al revés: 0+a=a, porque en la definición de grupo no se presupone la propiedad conmutativa (por cierto, que los grupos que son además conmutativos se llaman grupos abelianos en honor de Abel).
  2. Si a cada número le sumamos su opuesto (el mismo número pero cambiado de signo) nos da 0, que era precisamente el elemento neutro. Por ejemplo, 7+(−7) = 0. Diríamos que −7 es el inverso de 7.
  3. Se cumple la propiedad asociativa. Por ejemplo, (1+2)+3 = 1+(2+3). La cuenta da 6 la hagas con un orden o con otro.

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Hasta aquí parece un poco aburrido; lo verdaderamente interesante de los grupos es su generalidad. Y es que los conjuntos no tienen por qué estar formados por números y la operación no tiene por qué ser una suma o una multiplicación, lo que nos va a permitir definir una estructura de grupo en el el cubo de Rubik. Ahora el conjunto va a tener como elementos los distintos movimientos que podemos hacer y la operación va a ser simplemente la concatenación de dos movimientos, uno tras otro. Normalmente se utiliza la siguiente nomenclatura. U (up), F (front), D (down), B (back), R (right), L (left) representan un giro de 90° en el sentido de las agujas del reloj de las caras superior, frontal, de abajo, de atrás, derecha e izquierda, respectivamente. Con un superíndice 2 se representan los giros de 180° en sentido horario (por ejemplo U2 es un giro de 180° en sentido horario de la cara superior) y con una prima se representan los giros de 90° en sentido antihorario (por ejemplo L' es un giro de −90° de la cara izquierda del cubo). Además, añadiremos el "movimiento" que consiste en no hacer nada. Con estos ingredientes puede comprobarse que tenemos una estructura de grupo.

Varias letras seguidas indican el movimiento resultante de la concatenación de los movimientos elementales que acabamos de definir. Por ejemplo, U'R es el movimiento global que resulta de primero girar −90° la cara superior y luego girar 90° la cara de la derecha. Hemos operado (concatenado) dos movimientos para obtener un tercero. O por ejemplo U2U equivale a U'. Incluso podemos considerar movimientos más largos como por ejemplo U'RU2LDL. Todos estos son ejemplos de elementos del grupo del cubo de Rubik. Puede verse que el número total de movimientos distintos que podemos hacer en el cubo (o sea, el número de elementos de nuestro conjunto) se corresponde con el número distinto de configuraciones de color del cubo de Rubik. Aunque el grupo no tiene infinitos elementos (como sí ocurría en el grupo de los números enteros con la suma) no cabe duda de que hay un montón de movimientos posibles. En concreto, la cardinalidad (ese es el tecnicismo para hablar del número de elementos) del grupo del cubo de Rubik es 43 252 003 274 489 856 000.

En teoría de grupos hay muchísimos teoremas que podemos aplicar al cubo de Rubik para entender mejor cómo resolverlo... pero nosotros nos bajamos aquí. Por lo menos ya sabemos el abc de esta rama abstracta de las matemáticas. Que quede claro, además, que aunque no esté muy de moda como decíamos antes, la teoría de grupos es fundamental en distintos campos científicos como por ejemplo la mecánica cuántica o la física del estado sólido.

Ah, espera, se me olvidaba lo del número de Dios. Es 20. Las posiciones más difíciles del cubo de Rubik se pueden ordenar tras concatenar 20 movimientos elementales del tipo U, U2, U', F, F2... No hacen falta más giros de caras si uno elige los movimientos precisos (en el orden también preciso porque el grupo no es abeliano), entendiendo que cada giro de una cara puede ser de 90° –sentido horario o antihorario– o de 180°. (Si por contra se considera el convenio de que los giros de 180° cuentan como dos movimientos entonces el número de dios es 26.)

En 1981 ya se demostró que el número de Dios debía estar entre 18 y 52. En 1995 se encontró que algunas posiciones necesitaban al menos 20 movimientos, por lo que el número de Dios debía ser mayor o igual a 20. La demostración de que era exactamente 20 tuvo que esperar hasta el año 2010, tras tres décadas de sucesivas mejoras en las acotaciones del número de Dios. Como con el famoso Teorema de los 4 Colores se han necesitado potentes ordenadores para realizar cálculos, una vez que los casos interesantes se han reducido a unos pocos mediante razonamientos matemáticos de teoría de grupos.

Aún quedan muchos interrogantes sobre el cubo de Rubik, como por ejemplo cuál es el algoritmo óptimo (el que usa menos pasos) para una cierta configuración de partida general. Porque ya tenemos clarísimo que que el número de Dios sea 20 no quiere decir que hagan falta gastar siempre los 20 movimientos. De hecho, sólo hay alrededor del 0.000001% de las posiciones del cubo de Rubik que requieren exactamente los 20 movimientos. ¿Más cuestiones abiertas? Pues resulta que todo esto es para el cubo original de tamaño 3×3×3, pero también hay cubos más grandes (por ejemplo 4×4×4). Y para estos no se conoce todavía su número de Dios...

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REFERENCIAS:

http://www.youtube.com/watch?v=AOMQxLrCI7A&sns=em

https://es.wikipedia.org/wiki/Cubo_de_Rubik

https://whitehathacking.wordpress.com/2013/05/23/teoria-de-grupos-y-el-cubo-de-rubik/

http://geometer.org/rubik/group.pdf

https://en.wikipedia.org/wiki/Rubik%27s_Cube_group

https://ruwix.com/the-rubiks-cube/gods-number/

https://ruwix.com/online-rubiks-cube-solver-program/

http://www.cube20.org/

https://commons.wikimedia.org/wiki/File%3ARubik's_cube.svg

https://es.wikipedia.org/wiki/V-Cube_6#/media/File:V-Cube_6_small.jpg

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