512px-Sierpinski_triangle_evolution.svg.png

 

El triángulo de Sierpinski se forma siguiendo el proceso de la imagen de arriba una y otra vez hasta el infinito. Esa forma repetitiva es lo que se llama un fractal. Más concretamente se construye así:

  1. Se empieza con un triángulo equilátero.
  2. Se divide en 4 triángulos equiláteros iguales y se quita el central.
  3. Se repite el paso anterior con cada uno de los triángulos que quedan...  y así infinitamente

A lo mejor se ve más claro con una animación:

Animated_construction_of_Sierpinski_Triangle.gif

 

Por otra parte, el triángulo de Pascal está formado por filas de números, siendo los laterales siempre 1's y obteniéndose los demás números como suma de los dos superiores como se ve a continuación para las primeras filas (habría infinitas):

 Pascals_Triangle_divisible_by_2.png

 

La pregunta que nos interesa aquí es ¿qué números son más frecuentes en el triángulo de Pascal: los pares o los impares? Y de paso, ¿qué tiene que ver el triángulo de Pascal con el de Sierpinski?

En la imagen anterior del triángulo de Pascal se han sombreado los números impares mientras que los pares se han dejado en blanco. Se aprecia un cierto patrón, que recuerda a la construcción del triángulo de Sierpinski que vimos al principio. Es más, si nos fijamos con detalle en el triángulo de Sierpinski veremos que tiene exactamente la misma forma que el triángulo de Pascal, donde los números pares (blancos) serían ahora los negros en la figura animada y los números impares (grises) serían ahora los rojos es la figura animada.

Así que, volviendo a la pregunta: ¿Hay más pares o más impares? Pues la respuesta ahora empieza a estar clara y el resultado es sorprendente. Son "casi todos" pares (negros en el triángulo de Sierpinski animado). De hecho, conforme el triángulo de Pascal se va ampliando a más y más filas la probabilidad de encontrarse un número par tiende a 1 (o sea, al 100%) mientras que la probabilidad de encontrarse un número impar tiende a 0. ¿Veis cómo las zonas negras (números pares) de la animación se van "comiendo" a las zonas rojas (números impares)?

Ah, y por si a alguien le suena otro nombre, el triángulo de Pascal es también conocido como triángulo de Tartaglia o triángulo de Khayyam o triángulo de Yang-Hui, dependiendo del país, pues diferentes culturas lo han estudiado en detalle. Y por otra lado el triángulo de Sierpinski se llama también criba de Sierpinski o estuche de Sierpinski.

 

Referencias:

Ian Stewart, Ingeniosos encuentros entre juegos y matemáticas, RBA (2007).

https://en.wikipedia.org/wiki/Sierpinski_triangle

https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_triangle

  • Guest - Anon

    Pues siendo todos los laterales 1, yo creía que ganarían los impares :p:p

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