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En matemáticas una proposición es una afirmación que puede ser demostrada lógicamente partiendo de axiomas, postulados o de otros resultados que previamente han sido también demostrados. Es decir, una proposición es lo mismo que un teorema matemático, sólo que algo menos importante (se suele reservar el nombre de teorema para los grandes resultados).

Puesto que las proposiciones –y sus hermanos mayores los teoremas– pueden ser demostradas eso nos asegura su validez inmutable. Son verdades eternas. El teorema de Pitágoras es y será siempre cierto. Y esto es algo muy particular de las matemáticas y que la distingue de las ciencias experimentales. Porque en física, por ejemplo, las cosas son como son pero a veces llega alguien y encuentra una teoría más exacta y echa por tierra todo lo anterior. Con el teorema de Pitágoras eso no puede ocurrir. Está ahí ya para siempre.

Así que el punto clave de toda proposición es que sea matemáticamente cierta, o sea, verdad de la buena. Y para ello no queda más remedio que demostrarla con argumentos irrefutables. Vamos a ver un ejemplo con una proposición que no veréis en ningún libro porque es tan tonta que probablemente no tiene ningún interés. Esta es la proposición:

"Entre el número 10 y el número 20, ambos inclusive, hay más números compuestos que primos."

Tenéis que recordar que los números primos son aquellos números naturales mayores que 1 que sólo se pueden dividir de forma exacta entre ellos mismos y entre el número 1. Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11... Por contra los compuestos son los números mayores que 1 que sí que tienen más divisores. Los primeros números compuestos son 4, 6, 8, 9, 10...

Bien, pues vamos a demostrar la proposición... y lo vamos a hacer de dos formas distintas, que no se diga.

Demostración 1:

El 10 es compuesto (aparte de por 10 y por 1, puede dividirse entre 2 y también entre 5). Y podemos ir haciendo lo mismo hasta el 20 para ver si el resto de números son primos o compuestos:

10=2·5 (compuesto); 11 primo; 12=22·3 (compuesto); 13 primo; 14=2·7 (compuesto); 15=3·5 (compuesto); 16=24 (compuesto); 17 primo; 18=2·32 (compuesto); 19 primo; 20=22·5 (compuesto)

La conclusión de lo anterior es que entre 10 y 20 hay más números compuestos (10, 12, 14, 15, 16, 18, 20) que primos (11, 13, 17, 19), que es lo que queríamos demostrar.

Demostración 2:

• Como los números pares y los impares se van siempre alternando, resulta que en el conjunto de números entre el 10 y el 20, ambos inclusive, hay más pares que impares (puesto que tanto el 10 como el 20 son pares).

• Todos los números pares son compuestos (salvo el 2, que no está en nuestro conjunto) ya que pueden dividirse de manera exacta entre 2 (y no sólo entre ellos mismos y entre 1, que era el requisito para que fueran primos).

• Uniendo las dos afirmaciones anteriores se deduce inmediatamente lo que queríamos demostrar: hay más números compuestos que primos en el intervalo entre 10 y 20, porque hay más pares y acabamos de ver que esos pares son compuestos.

 

Pues ahí están las dos demostraciones. Ambas son perfectamente válidas pero parece claro que la segunda es más elegante. Y no sólo eso, sino que tiene ventajas innegables. En primer lugar es más rápida puesto que no hay que ir probando uno a uno los números. De hecho, la demostración 2 no involucra ninguna operación. Y en segundo lugar, la demostración 2 puede generalizarse a otros casos: por ejemplo, siguiendo el mismo razonamiento podemos demostrar esta otra proposición:

"Entre el 1802 y el 1818, ambos incluidos, hay más compuestos que primos."

O incluso esta otra más general:

"En el conjunto de números comprendidos entre n y m, ambos incluidos, siendo n y m números pares (distintos de 2), hay más números compuestos que primos."

¿Veis por qué hay que decir que n tiene que ser distinto de 2?

Así que definitivamente nos quedamos con la segunda demostración, que es más elegante y mejor que la primera demostración por "fuerza bruta". Sin embargo, hay veces que para algunas proposiciones los matemáticos no encuentran una demostración "directa" como la segunda y se se ven abocados a usar un método exhaustivo como el primero. Quizá el caso más famoso de demostración por fuerza bruta sea el del teorema de los cuatro colores. Y por cierto, que hay más formas de demostrar las cosas, como por ejemplo el método de "reducción al absurdo" que tan genialmente utilizó Euclides para demostrar la infinitud de los números primos.

 

REFERENCIAS:

- https://es.wikipedia.org/wiki/Demostraci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

- https://es.wikipedia.org/wiki/Demostraci%C3%B3n_por_casos

- https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_cuatro_colores

- https://commons.wikimedia.org/wiki/File%3AValladolid_Rodin_expo_2008_Pensador_03_ni.JPG By Nicolás Pérez (Own work) [GFDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html) or CC-BY-SA-3.0 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)], via Wikimedia Commons

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