TEOREMA: Hay infinitos números primos

 

La demostración, de Euclides, es por reducción al absurdo.

 

 

Supongamos que el conjunto de los números primos es finito, siendo el primo mayor M. Así pues, escribimos ese conjunto como:

 

 {2, 3, 5, 7, …, M}

 

Consideremos el número que se forma multiplicando todos los números del conjunto anterior y sumándole 1 a dicho resultado, es decir:

 

2·3·5·7···M + 1

 

Este número que acabamos de construir es mayor que M (pues se ha multiplicado el propio M por números mayores que 1).

 

Como ese número es mayor que M no puede estar en el conjunto de los números primos {2, 3, 5, 7, …, M} (cuyo máximo era M). Por tanto no es primo, es decir, es compuesto.

 

Como el número 2·3·5·7···M + 1 es compuesto entonces puede factorizarse en números primos, es decir, tendrá en su factorización algún factor primo del conjunto {2, 3, 5, 7, …, M}.

 

Para mayor claridad vamos a suponer que el número compuesto 2·3·5·7···M + 1 tiene al número primo 3 en su factorización (es decir, que es divisible entre 3). El argumento que viene a continuación podría hacerse con cualquier otro número del conjunto de primos {2, 3, 5, 7, …, M} aunque no fuera el 3.

 

Como tiene al 3 en su factorización podremos escribir el número 2·3·5·7···M + 1 como producto del 3 por otro número natural que llamaremos q. Esto es:

 

2·3·5·7···M + 1 = 3·q

 

Dejando el 1 a la izquierda en la igualdad obtenemos

 

 1 = 3·q – 2·3·5·7···M

 

Sacando factor común el 3:

 

 1 = 3·(q – 2·5·7···M)

 

Acabos de llegar a la conclusión que el número 1 se puede poner como el producto de 3 por otro número natural (el del paréntesis), lo que es absurdo. Nótese que el resultado sería igualmente absurdo si en vez de con el 3 lo hubiéramos hecho con el 5 o el 7 o cualquier otro primo del conjunto {2, 3, 5, 7, …, M}.

 

Como los razonamientos que hemos ido haciendo son todos correctos, lo único que explica que hayamos llegado a una conclusión absurda (errónea) es que la hipótesis de partida no fuera correcta.

 

Por lo tanto la hipótesis correcta tiene que ser la contraria con la que iniciamos la demostración, es decir, la hipótesis correcta es que el conjunto de los números primos NO es finito (o sea, que es infinito). QED.

 

  • No comments found

Leave your comments

Post comment as a guest

0
Your comments are subjected to administrator's moderation.