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Hablando mal y pronto podemos decir que resolver una ecuación es encontrar los valores de x que hacen que se cumpla la igualdad. Por ejemplo para la ecuación 4x2 + x − 5 = 0 tenemos que las soluciones son x = 1 y también x = −5/4. Vemos que al cambiar la x por el valor 1 se cumple la igualdad. Y lo mismo pasa para x = −5/4. Esta ecuación es de segundo grado porque lleva x2 (los matemáticos las llaman ecuaciones cuadráticas) y para obtener las soluciones anteriores basta aplicar la fórmula que seguro que habéis estudiado alguna vez en el instituto... esa de:

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donde a, b y c son los números que aprecen delante de la x2, de la la x y el número suelto, respectivamente. O si queréis hablar un poco mejor, son los coeficientes del término cuadrático, del término lineal y el término independiente. En nuestro caso: a = 4, b = 1, c = −5. Con la fórmula anterior podemos resolver cualquier ecuación de 2º grado poniendo en lugar de a, b, c los valores que correspondan.

Esa fórmula se conoce desde hace muchos muchos años. Tantos que no se sabe ni quién fue el primero en usarla. La fórmula es muy bonita pero no es la panacea porque sólo vale para ecuaciones de segundo grado. ¡Ajá! ¿y qué ocurre con las ecuaciones de tercer grado, es decir, las que llevan incluso un término con x3 y que los matemáticos llaman ecuaciones cúbicas?

Pues nada porque por suerte hay otra fórmula, que también es muy chula pero que no la vamos a escribir porque es un poco fea larga. ¿Y se sabe quién descubrió esa fórmula? Umh, sí que se sabe y la historia no tiene desperdicio. Varios son los culpables.

Empecemos por Scipione del Ferro. Este matemático italiano de la Universidad de Bolonia fue el primero en encontrar un método para resolver ecuaciones cúbicas del tipo que llaman deprimidas, que son las que no llevan x2 como por ejemplo 2x3 + x − 7 = 0.

Del Ferro en vez de lanzarse como loco a publicar este importante hallazgo prefirió guardarse la “fórmula” en secreto. ¿Por qué? Bueno, porque era el año 1500 más o menos y entonces los conocimientos se reservaban para poder usarlos como arma arrojadiza contra otro matemático: “Mira lo que sé yo, anda, si quieres quitarme la plaza en la universidad tendrás que saber tanto como yo”. No había oposiciones por aquella época y las cátedras eran tan golosas como ahora. Otras veces se enfrentaban en estos retos por el dinero que sacaban de las apuestas. En ambientes académicos eran casi como las finales de fútbol de ahora. Un espectáculo.

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Por cierto que hemos puesto entre comillas la palabra “fórmula”. Hay que tener en cuenta que el lenguaje algebraico estaba empezando a dar sus primeros pasos por aquel entonces y más que fórmulas eran “recetas” dichas de palabra: “coge el número tal y hazle tal operación, después súmale...” Además solían considerar sólo números positivos en busca siempre de interpretaciones geométricas.

Total, que el bueno de del Ferro se guardó su secreto hasta casi el lecho de muerte, y sólo se lo confesó entonces a uno de sus alumnos. Tal vez debió pensar que en la tumba de poco le iba a servir. El alumno, bastante mediocre como se verá después, se llamaba Antonio María Fior.

En cuanto Fior empezó a alardear de conocer la fórmula se organizó una contienda matemática entre él y nada menos que Tartaglia, uno de los grandes matemáticos del Renacimiento y experto en este tipo de duelos.

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Antes de seguir conviene decir en honor de Tartaglia que su nombre verdadero era Niccolo Fontana, pero se quedó con el apodo de Tartaglia (tartaja, tartamudo) desde que de niño sufrió una herida de sable en la cara durante la invasión francesa de su ciudad natal de Brescia (Italia) que le ocasionó un defecto en el habla. Peor suerte corrió su padre que murió en la batalla. Cosas de la época. Pero volvamos al duelo.

Antonio Fior partía como favorito gracias a su fórmula secreta para resolver ecuaciones cúbicas deprimidas. Cada uno de los combatientes propuso al otro 30 problemas matemáticos que debían ser resueltos el 13 de febrero de 1535. Fior eligió 30 ecuaciones cúbicas deprimidas para “lanzarle” a Tartaglia, mientras que Trataglia le propuso 30 problemas variados. El que ganara se llevaría el dinero de la apuesta y el prestigio. Ganó Tartaglia 30-0. Y es que Tartaglia, que al principio sólo sabía resolver ecuaciones cúbicas sin el término lineal (como por ejemplo, 2x3+4x2−5=0), debía haber conseguido también aprender a resolver ecuaciones cúbicas deprimidas (sin el término cuadrático) en algún momento previo.

Y todavía hay más. En medio de esta locura matemática aparece el más excéntrico de todos los matemáticos: Gerolamo Cardano. Astrólogo, jugador empedernido y médico de reconocido prestigio fue acusado en Bolonia de herejía en 1570. Hijo ilegítimo de infancia enfermiza, se cuenta de él que gustaba de inflingirse dolor a sí mismo, que orinaba litros y litros cada día, que era insomne, que predecía el futuro o que nació muerto pero volvió a la vida tras bañarse en vino. Su mujer fue envenenada por su propio hijo, que fue subsiguientemente ejecutado. En fin, más cosas de la época.

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El caso es que tras el abrumador triunfo de Tartaglia en el famoso duelo con Fior, Cardano invita al flamante ganador a su casa con la promesa de ayudarle a salir de sus continuos apuros económicos y le pide a cambio que por favor le cuente cómo resolver ecuaciones cúbicas deprimidas. Cardano jura solemnemente a Tartaglia guardar el secreto y éste acaba cediendo tras muchas presiones del obsesivo médico.

Con el método para resolver ecuaciones cúbicas deprimidas (o sea, sin la x2), Cardano es capaz ya de resolver ecuaciones cúbicas totalmente generales (como por ejemplo x3+x2+x+1=0) pues había encontrado una forma de transformar estas ecuaciones generales en otras deprimidas. Pero se ve imposibilitado para publicar sus resultados, pues la solución pasa por reducirlas a ecuaciones deprimidas. Aunque el excéntrico matemático y médico no tenía problemas económicos y se encontraba en una posición cómoda para permitirse el lujo de publicar resultados (no como el pobre Tartaglia que había de ganarse las habichuelas a base de duelos matemáticos) la promesa hecha a Tartaglia lo ataba de pies y manos.

Sin embargo, Cardano, ansioso por publicar, encuentra una salida. Sostiene que la solución de la ecuación cúbica deprimida que utiliza en su resolución de la ecuación general no es la de Tartaglia sino la de del Ferro. Es posible que el manuscrito original de del Ferro hubiera sido heredado por su yerno Annibale Nave (quien reemplazó a del Ferro como catedrático en la Universidad de Bolonia) y que finalmente acabara en las manos de Cardano, liberándole de la promesa a Tartaglia porque al fin y al cabo ahora tenía unas fuentes alternativas. Cardano publica los resultados en su libro Ars Magna en 1545.

Tartaglia arde de rabia al enterarse de la afrenta de Cardano y comienza una gran pelea dialéctica entre ellos, insultos incluidos. Le escribe cartas encendidas a Cardano, que se niega a contestar directamente, dejando la correspondencia en manos de su secretario Ludovico Ferrari.

¿Y éste qué pinta en la historia? Pues mucho. Resulta que Ferrari llega con 14 años a casa de Cardano como sirviente. Su interés por los trabajos del prestigioso médico y matemático van en aumento y Ferrari pasa así de sirviente a secretario, de secretario a alumno, y finalmente de alumno a colega del propio Cardano. El nivel matemático de Ludovico Ferrari supera a su maestro, y llega a resolver ecuaciones cuárticas generales (con x4 también) con un método que consiste en reducirlas otra vez a ecuaciones cúbicas deprimidas. De hecho, la demostración de Ferrari apareció también en el Ars Magna.

En 1548, Tartaglia recibe una oferta para dar clases en Brescia. Al fin una oportunidad para salir de su mala racha. Pero a Tartaglia le quedaba un último reto pendiente para poder optar a la plaza: debía combatir con Ferrari sobre las ecuaciones de tercer y cuarto grado. El 10 de agosto de 1548 se produce el asalto y, esta vez, el genial Tartaglia se ve superado por su adversario, perdiendo así sus últimas esperanzas de prosperidad. Murió igual de pobre que nació.

La verdad es que Ferrari tampoco acabó sus días muy bien que digamos. Justo el año en que se le ofreció la plaza en la Universidad de Bolonia (1565) murió envenenado con arsénico, probablemente a manos de su propia hermana. En cuanto a Cardano, puede decirse que creyó a muerte en la astrología, cuyas cábalas predecían que el día de su muerte sería el 20 de septiembre de 1576. Se cuenta que se suicidó ese día para hacer correcta la predicción.

Y después de este culebrón ya sabemos al menos que hay métodos para resolver ecuaciones generales no sólo de grado 3 sino incluso de grado 4. Las fórmulas son bastante largas como para ponerlas aquí, pero lo importante es que existen. Ahora bien, ¿qué pasa con las ecuaciones de grado 5?

Pues para eso hay que esperar hasta el siglo XIX, donde un matemático noruego (Abel) y otro francés (Galois) demostraron que las ecuaciones quínticas generales (con x5) no tienen fórmula algebraica para resolverlas (hablando un poco mejor: no son resolubles por radicales). Y de hecho se deduce de sus resultados que tampoco puede haber un método exacto para las ecuaciones generales de mayor grado.

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Por cierto, que Abel murió jovencísimo de tuberculosis, con 26 años... aunque la traca final de toda esta historia es para Galois que murió con tan sólo 20 años de las heridas causadas por un duelo a pistolas (un duelo de verdad, por un asunto de faldas, nada que ver con los duelos académicos de Tartaglia y cía). Suerte que la noche antes se dedicó a escribir buena parte de sus grandes aportaciones matemáticas en una correspondencia arrebatada que ha quedado como legado de uno de los mejores matemáticos de todos los tiempos pese a su brevísima vida.

 

REFERENCIAS

Boyer, C.B. (revised by Uta C. Merzbach). A History of Mathematics, 2nd Ed. Wiley, 1991.

Dunham, W. Jouney through Genius. The great theorems of mathematics. Penguin Books, 1991.

https://es.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano

http://www.ugr.es/~eaznar/ferro.htm

http://www.ugr.es/~eaznar/tartaglia.htm

https://es.wikipedia.org/wiki/Lodovico_Ferrari

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Ferrari.html

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Tartaglia_v_Cardan.html#s1

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