Euclides, hacia el año 300 a.C., fue de los primeros que empezaron a utilizar el razonamiento matemático de forma similar a como se realiza hoy en día. Los Elementos, su obra maestra, está formada por 13 libros con 465 proposiciones (esto es, verdades matemáticas) que son demostradas con una lógica impecable a partir de una serie de postulados iniciales básicos sobre los que Euclides construye toda su obra. Y ese es su mérito: haber dado forma y estructura lógica a los resultados matemáticos que se conocían en su momento pero que sólo estaban expresados de forma vaga.

Una de las técnicas utilizadas por Euclides en sus razonamientos es la conocida como "reducción al absurdo". Consiste en demostrar que una proposición matemática es verdadera probando que si no lo fuera conduciría a una contradicción. Vamos a verlo con más detalle.

En una demostración por reducción al absurdo hay que partir de una hipótesis contraria a lo que se quiere demostrar y, a través de una cadena de razonamientos acertados, llegar a una conclusión falsa, inconsistente o absurda. El fallo que ha conducido a esa conclusión final errónea ha de haber sido la hipótesis de partida (pues los razonamientos intermedios son acertados). Por consiguiente, queda así demostrado que la hipótesis cierta es la opuesta a la inicial (que era la contraria a lo que queríamos demostrar) y por tanto la hipótesis cierta es lo que realmente queríamos demostrar.

Entre las grandes proposiciones (teoremas) que Euclides demostró magistralmente se encuentran resultados bien conocidos desde la escuela, como por ejemplo:

  • Los ángulos de un triángulo suman 180°.
  • En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (Teorema de Pitágoras).

Estos resultados son conocidísimos... pero ¿son realmente ciertos? Claro que sí: no nos engañaron en la escuela (bueno, el de los 180° tiene más miga de lo que parece). Ahora bien: ¿cómo se demuestra que estas proposiciones son ciertas? ¿Sabríais vosotros demostrarlas? mmmh... no es fácil ¿verdad? Pues Euclides lo hizo hace 2300 años (!!!)

 

Referencias:

W. Dunham. Journey through genius: the great theorems of mathematics. John Wiley and sons, 1990.

http://es.wikipedia.org/wiki/Euclides

https://es.wikipedia.org/wiki/Reductio_ad_absurdum

http://mathground.net/euclid/

 

 

 

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